프리드버그 선형대수학 번역본을 통해 학습한 내용을 정리한 글입니다.
1.1 개론
1. 벡터(vector) : 크기와 방향을 가진 물리량.
2. 평행사변형 법칙(parallelogram law) : 두 벡터의 합(sum)인 합성벡터를 구하는 규칙.
3. 스칼라 곱(scalar multiplication) : 벡터의 크기에 스칼라 값을 곱한 것.
4. 벡터의 평행(parallel) : 두 벡터 x, y에 대해 y = tx인 0이 아닌 실수 t가 존재할때, 두 벡터는 평행하다.
5. 평면에서의 벡터의 합과 스칼라 곱에 대한 대수적 설질
(1) 모든 벡터 x, t에 대하여 x + y = y + x이다.
(2) 모든 벡터 x, y, z에 대하여 (x + y) + z = x + (y + z)이다.
(3) 모든 벡터 x에 대하여 x + 0 = x를 만족하는 벡터 0이 존재한다.
(4) 각 벡터 x마다 x + y = 0을 만족하는 벡터 y가 존재한다.
(5) 모든 벡터 x에 대하여 1x = x이다.
(6) 모든 실수 a, b와 모든 벡터 x에 대하여 (ab)x = a(bx)이다.
(7) 모든 실수 a와 모든 벡터 cx, y에 대하여 a(x + y) = ax + ay이다.
(8) 모든 실수 a, b와 모든 벡터 x에 대하여 (a + b)x = ax + bx이다.
6. 직선의 방정식
서로 다른 두 점 A, B에 대해 시점이 원점O이고, 종점이 A, B인 두 벡터 u, v, 시점이 A이고 종점이 B인 벡터 w에 대해
$$x = u + tw = u + t(v - u)$$
(단, t는 임의의 실수이고 x는 직선 위 임의의 점)
7. 평면의 방정식
한 직선 위에 있지 않은 세 점 A, B, C에 대해 시점이 A이고 종점이 B, C인 젝터 u, v에 대해
$$x = A + su + tv$$
(단, s, t는 임의의 실수이고 x는 평면 위 임의의 점)
1.2 벡터공간
1. 체(field) : 체 F는 덧셈과 곱셈이 주어진 집합으로, x,y ∈ F의 순서쌍에 대해 x+y, x·y가 F에 유일하게 존재하며 모든 원소 a, b, c ∈ F에 대해 다음 조건이 성립한다
(F1) 덧셈과 곱셈에 대한 교환법칙 : a + b = b + a, a·b = b·a
(F2) 덧셈과 곱셈에 대한 결합법칙 : (a + b) + c = a + (b + c), (a·b)·c = a·(b·c)
(F3) 뎃셈과 곱셈에 대한 항등원 : 0 + a = a, 1 · a = a 인 0 ∈ F와 1 ∈ F (단 1 ≠ 0)가 존재한다
(F4) 뎃셈과 곱셈에 대한 역원 : 각 a ∈ F와 영이 아닌 b ∈ F에 대하여 a + c = 0, b·ㅇ = 1인 c ∈ F와 d ∈ F가 존재한다
(F5) 덧셈에 ㄷ대한 곱셈의 분배법칙 : a · (b + c) = a · b + a · c
2. 벡터공간(vector space) 또는 선형공간(linear space) : 체 F에서 벡터공간 V는 다음 8가지 조건을 만족하는 두 연산, 합과 스칼라 곱을 가지는 집합이다.
(VS1) 모든 x, y ∈ V에 대하여 x + y = y + x이다. (덧셈의 교환법칙)
(VS2) 모든 x, y, z ∈ V에 대하여 (x + y) + z = x + (y + z)이다. (덧셈의 결합법칙)
(VS3) 모든 x ∈ V에 대하여 x + 0 = x인 0 ∈ V가 존재한다.
(VS4) 각 x ∈ V마다 x + y = 0인 y ∈ V가 존재한다.
(VS5) 각 x ∈ V에 대하여 1x = x이다.
(VS6) 모든 a, b ∈ F와 모든 x ∈ V에 대하여 (ab)x = a(bx)이다.
(VS7) 모든 a ∈ F와 모든 x, y ∈ V에 대하여 a(x + y) = ax + ay이다.
(VS8) 모든 a, b ∈ F와 모든 x ∈ V에 대하여 (a + b)x = ax + bx이다.
3. n순서쌍(n-tuple)
- \(a_1, a_2, ..., a_n\)이 F의 원소일 때, \((a_1, a_2, ..., a_n)\) 꼴의 수학적 대상을 F에서 성분을 가져온 n순서쌍이라 한다.
- 순서쌍을 구성하는 원소 \(a_1, a_2, ..., a_n\)을 n순서쌍의 성분(entry 또는 component)이라 한다.
- F에서 성분을 가져온 두 n순서쌍 \((a_1, a_2, ..., a_n)\)과 \((b_1, b_2, ...,b_n)\)은 \(a_i = b_i (i = 1, 2, ..., 3)\)일때, 같다(equal).
4. 행렬 (matrix) : F에서 성분을 가져온 m x n 행렬은 다음과 같은 직사각형 모양의 배열이다.
$$\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n}\\a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n}\\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn}\end{pmatrix}$$
5. 다항식(polynomial) : 계수(coefficient)가 체 F의 원소인 다항식은 다음과 같이 정의한다.
$$f(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{x-1} + ... + a_1x + a_0$$
6. 차수가 n 이하인 다항식 : 음이 아닌 정수 n에 대하여 \(P_n(F)\) 를 n 이하의 차수를 가진 모든 다항식의 집합이라고 하자. \(P_n(F)\) 는 \(P_(F)\) 의 부분공간이다.
7. 영 다항식(zero polynomial) : f(x) = 0 즉, a_n = a_{n-1} = ... = a_0 = 0 인 다항식. 차수(degree)는 -1로 정의한다.
8. 벡터공간의 정의를 바탕으로 확인할 수 있는 기본 성질
(1) 벡터 합의 소거법칙 : x, y, z ∈ V이고 x + z = y + z일 때, x = y이다.
(1-1) 따름정리 1 : (VS3)를 만족하는 벡터 0은 유일하다
(1-2) 따름정리 2 : (VS4)를 만족하는 벡터 y는 유일하다
(2) 모든 벡터공간 V에 대하여 다음이 성립한다.
(2-1) 모든 벡터 x에 대하여 0x = 0이다.
(2-2) 모든 스칼라 a와 모든 벡터 x에 대하여 (-a)x = -(ax) = a(-x)이다.
(2-3) 모든 스칼라 a에 대하여 a0 = 0이다.
1.3 부분공간
1. 부분공간(subspace) : F-벡터공간 V의 부분잡합 W가 V에서 정의한 합과 스칼라곱을 가진 F-벡터공간일 때, W는 V의 부분공간이다.
2. 점공간인 부분공간(zero subspace) : {0}. (모든 벡터공간 V에 대해 V와 {0}은 부분공간이다)
3. W가 V의 부분공간이기 위한 필요충분조건
(1) 모든 x ∈ W, y ∈ W에 대하여 x + y ∈ W이다. (W는 덧셈에 대하여 닫혀있다)
(2) 모든 c ∈ F 와 모든 x ∈ W에 대하여 cx ∈ W이다. (W는 스칼라 곱에 대하여 닫혀있다)
(3) W는 영벡터를 포함한다. (0 ∈ W)
4. 전치행렬(transpoose matrix) : m x n 행렬 A의 전치행렬 \(A^t\) 는 A의 행과 열을 바꾸어 얻은 n x m 행렬이다.
$$(A^t)_{ij} = A_{ji}$$
$$\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{pmatrix}^t = \begin{pmatrix}1&4\\2&5\\3&6\end{pmatrix}$$
5. 대칭행렬(symmetric matrix) : \(A^t = A\)인 정사각행렬. 모든 대칭행렬을 원소로 하는 집합 W는 부분공간이다.
6. 상삼각행렬(위삼각행렬; upper triangular matrix) : 대각성분 아래의 모든 성분이 0인 행렬. \(i > j\) 일 때 \(A_{ij} = 0\) 인 행렬
$$\begin{pmatrix}1&2&3&4\\0&5&6&7\\0&0&8&9\end{pmatrix}$$
7. 대각행렬(diagonal matrix) : 대각 성분을 제외한 모든 성분이 0인 정사각행렬. \(i \neq j\) 일 때 \(M_{ij} = 0\) 인 \(n \times n\) 행렬
$$\begin{pmatrix}1&0&0\\0&2&0\\0&0&3\end{pmatrix}$$
8. 대각합(trace) : \(n \times n\) 행렬 \(M\) 의 모든 대각성분의 합. \(tr(M)\)으로 표시.
$$tr(M) = M_{11} + M_{22} + ... + M_{nn}$$
1.4 일차결합과 연립일차방정식
1. 일차결합(linear combination) : 벡터공간 V와 공집합이 아닌 V 부분집합 S에 대해, 유한개의 벡터 \(u_1, u_2, ...., u_n \in S\) 와 스칼라 \(a_1, a_2, ..., a_n\) 에 대하여 다음을 만족하는 벡터 v ∈ V.
$$v = a_1u_1 + a_2u_2 + ... + a_nu_n$$
- (이때 v는 백터 \(u_1, u_2, ...., u_n\) 의 일차결합이고 \(a_1, a_2, ..., a_n\)은 이 일차결합의 계수(coefficient)이다.
2. 생성공간(span) : 벡터공간 B의 공집합이 아닌 부분집합 S의 생성공간은 S의 벡터를 사용하여 만든 모든 일차결합의 집합이며 span(S)라 표기한다. 편의를 위해 \(span(\emptyset) = {0}\) 으로 정의.
- 벡터공간 V의 부분집합 S에 대하여 span(S) = V 이면 S는 V를 생성한다(generate 또는 span) . 이 경우 S의 벡터가 V를 생성한다고 말하기도 한다.
1.5 일차종속과 일차독립
1. 일차종속(linearly dependent) : 벡터공간 V의 부분집합 S에 대하여 \(a_1u_1 + a_2u_2 + ... + a_nu_n = 0\) 을 만족하는 유한개의 서로 다른 벡터 \(u_1, u_2, ... , u_n \in S\) 와 적어도 하나는 0이 아닌 스칼라 \(a_1, a_2, ... , a_n\) 이 존재하면 집합 S는 일차종속이라 한다. 이때, S의 벡터 또한 일차종속이다.
2. 영벡터의 자명한 표현(trivial representaion of 0) : 임의의 벡터 \(u_1, u_2, ... , u_n \in S\) 에 대하여 \(a_1 = a_2 = ... = a_n = 0\) 이면 \(a_1u_1 + a_2u_2 + ... + a_nu_n = 0\) 이다. 이를 \(u_1, u_2, ... , u_n\)의 일차결합에 대한 영벡터의 자명한 표현이라 한다.
- 집합이 일차종속이면 적절한 벡터를 택하여 영벡터를 자명하지 않은 방식으로 표현할 수 있다. 영벡터 0을 포함하는 모든 부분집합은 일차종속이다. \(O = 1 \cdot O\) 은 영벡터의 자명하지 않은 표현이기 때문이다.
3. 일차독립(linerarly independent) : 벡터공간의 부분집합 S가 일차종속이 아니면 일차독립이다. 이때, S의 벡터 또한 일차독립이다.
- 일차독립인 집합에 대한 다음 명제는 모든 벡터공간에서 참이다.
(1) 공집합은 일차독립이다. 어떤 집합이 일차종속이기 위해선 반드시 공집합이 아니어야 한다.
(2) 영이 아닌 벡터 하나로 이루어진 집합은 일차독립이다. 만약 {u}가 일차종속이면 0이 아닌 스칼라 a 에 대하여 au = 0이다. 양변에 \(a^{-1}\) 을 곱하면 \(u = a^{-1}(au) = a^{-1}O = O\) 이므로 u가 영벡터가 아니라는 사실에 모순이다.
(3) 어떤 집합이 일차독립이기 위한 필요충분조건은 O을 주어진 집합에 대한 일차결합으로 표현하는 방법이 자명한 표현인 것이다.
4. 일차종속과 일차독립에 관한 정리
(1) \(V\)는 벡터공간이고 \(s_1 \subseteq S_2 \subseteq V\) 이다. \(S_1\) 이 일차종속이면 \(S_2\) 도 일차종속이다.
(2) 벡터공간 \(V\) 그리고 일차독립인 부분집합 \(S\)를 생각하자. \(S\) 에 포함되지 않는 벡터 \(v \in V\) 에 대하여 \(S \cup \{v\}\) 가 일차종속이기 위한 필요충분조건은 \(v \in span(s)\)이다.
1.6 기저와 차원
1. 기저(basis) : 벡터공간 \(V\)와 부분집합 \(\beta\)를 생각하자. \(\beta\) 가 일차독립이고 \(V\) 를 생성하면 \(V\)의 기저라한다. \(\beta\)가 \(V\)의 기저일 때, \(\beta\)의 벡터는 (\(V\)의) 기저를 형성한다.
- \(span(\emptyset) = \{O\}\) 이고, \(\emptyset\) 은 일차독립이다. 즉, \(\emptyset\) 은 점공간의 기저이다.
- 행렬 \(E^{ij} \in M_{m \times n}(F)\)는 i행 j열 성분만 1이고, 나머지 성분은 0인 행렬이다. 집합 \(\{E^{ij}: 1 \leq i \leq m, i \leq j \leq n\}\) 은 \(M_{m \times n}(F)\) 의 기저이다.
- 집합 \(\{1, x, x^2, ...\}\) 은 P(F)의 기저이다.
2. 표준기저(standard basis)
(1) 벡터공간 \(F^n\) 에 대하여 다음 벡터 \(e_1 = (1, 0, 0, ... , 0), e_2 = (0, 1, 0, ... , 0), ... , e_n = (0, 0, ... , 0, 1)\) 로 이루어진 집합 \(\{e_1, e_2, ..., e_n\}\) 은 \(F^n\)의 기저이다. 이 특별한 기저를 \(F^n\) 의 표준기저라 한다.
(2) 집합 \(\{1, x, x^2, ... , x^n\}\) 은 벡터공간 \(P_n(F)\) 의 기저이다. 이 특별한 기저를 \(P_n(F)\) 의 표준기저라 한다.
3. 기저와 관련된 정리
(1) 벡터공간 V와 이 공간에 속한 서로 다른 n개의 벡터 \(u_1, u_2, ... , u_n\) 을 생각하자. 집합 \(/beta = \{u_1, u_2, .... , u_n\}\)가 V의 기저가 되기 위한 필요충분조건은 '임의의 벡터 \( v \in V\) 를 \(/beta\)에 속한 벡터의 일차결합으로 나타낼 수 있고, 그 표현은 유일하다' 는 것이다. 즉, 유일한 스칼라 \(a_1, a_2, ... , a_n\) 에 대하여 벡터 \(v\) 는 다음과 같다.
$$v = a_1u_1 + a_2u_2 + ... + a_nu_n$$
(2) 유한집합 S가 벡터공간 V를 생성하면, S의 부분집합 중 V의 기저가 존재한다. 즉, V에는 유한집합인 기저를 포함한다.
3. 대체정리(replacement theorem) : n 개의 벡터로 이루어진 집합 G가 벡터공간 V를 생성한다고 하자. L이 m개의 일차독립인 벡터로 이루어진 V의 부분집합이면, \(m \leq n\) 이다. 또한 다음 조건을 만족하는 집합 \(H \subseteq G\) 가 존재한다. H는 n-m 개의 벡터로 이루어져 있으며, \(L \cap H\)는 V를 생성한다.
(따름정리 1) 벡터공간 V가 유한집합인 기저를 포함한다고 가정하다. V의 모든 기저는 유한집합이며, 같은 개수의 벡터로 이루어져 있다.
(따름정리 2) V를 차원이 n인 벡터공간이라 하자
(1) V의 유한 생성집합에는 반드시 n개 이상의 벡터가 있다. 또한 n 개의 벡터로 이루어진 (V의) 생성집합은 (V의) 기저이다.
(2) 일차독립이고 n 개의 벡터로 이루어진 (V의) 부분집합은 V의 기저이다.
(3) 일차독립인 (V의) 부분집합을 확장시켜 기저를 만들 수 있다. 다시 말해 \(L(\subseteq V)\) 이 일차독립이면 \(L \subseteq \beta\) 인 V의 기저 \(\beta\)가 존재한다.
4. 차원(dimension) : V의 기저가 n개의 벡터로 이루어질 때, 유일한 자연수 n은 주어진 벡터 공간의 차원이고, dim(V)라 표기한다.
5. 유한차원(finite dimension) : 기저가 유한집합인 벡터공간
6. 무한차원(infinite dimension) : 유한차원이 아닌 벡터공간
7. 벡터공간의 차원에 대한 예시
- 벡터공간은 어느 체 위에 있는지에 따라 차원이 달라질 수 있다.
- 유한차원 벡터공간 V에서 dim(V) 보다 더 많은 개수의 벡터를 가지는 부분집합은 절대 일차독립이 수 없다.
(1) 벡터공간 \(\{O\}\) 의 차원은 0이다.
(2) 벡터공간 \(F^n\)의 차원은 n이다.
(3) 벡터공간 \(M_{m \times n}(F)\)의 차원은 \(mn\) 이다.
(4) 벡터공간 \(P_n(F)\) 의 차원은 \(n + 1\) 이다.
(5) 복소수체 C에서 복소수 벡터공간의 차원은 1이고 기저는 {1}이다.
(6) 실수체 R에서 복소수 벡터공간의 차원은 2이고, 기저는 {1, i} 이다.
(7) 벡터공간 P(F)는 무한차원이다. 일차독리빈 무한집합 \(\{1, x, x^2, ...\} \subset P(F)\) 가 존재하기 때문이다.
8. 기저는 일차독립인 집합과 생성집합의 교집합이다.
9. 부분공간의 차원과 본래 공간의 차원 사이의 관계에 대한 정리
유한차원 벡터공간 V에 대하여 부분공간 W는 유한차원이고, \(dim(W) \leq dim(V)]\) 이다.
특히 dim(W) = dim(V) 이면 V = W 이다.
10. 라그랑주 보간법
- 보간법 (내삽법: interpolation) : 이미 알고 있는 값을 바탕으로 그 사이의 값을 추정하는 방법
- 라그랑주 다항식(Lagrange polynomial)
$$f_i(x) = \frac{(x - c_0) \cdots (x - c_{i-1})(x - c_{i+1}) \cdots (x-c_n)}{(c_i - c_0 \cdots (c_i - c_{i-1})(c_i - c_{i+1}) \cdots (c_i - c_n)} = \prod_{k = 0, k \neq i}^{n} \frac{x - c_k}{x_i - c_k}$$
(1) 각 다항식 \(f_i(x)\) 는 차수가 n인 다항식이고 P_n(F)의 원소이다. 이제 다항함수 \(f_i : F \rightarrow F\) 에 대하여
$$f_i(c_j) = \begin{cases} 0 & (i \neq j)\\ 1 & (i = j) \end{cases} \tag{1}$$
(2) 라그랑주 다항식의 성질은 집합 \(\beta = \{f_0, f_1, ... , a_n\}\) 이 \(P_n(F)\) 의 일차독립인 부분집합임을 보이는데 사용된다. 다음 함수가 영함수라 가정하자.
$$\sum_{i = 0}^n a_if_i = 0$$
(단, \(a_0, a_1, ... , a_n\) 은 스칼라)
(3) 위 함수에 \(c_j\) 를 입력하면 아래와 같다.
$$\sum_{i=0}^n a_if_i(c_i) = 0 (j = 0, 1, ... , n)$$
(4) 수식 (1) 에 의해
$$\sum_{i=0}^n a_if_i(c_i) = a_j$$
(5) 따라서 모든 \(0 \leq j \leq n\) 에 대하여 \(a_j = 0\)이고 \(\beta\)는 일차독립이다.
(6) \(P_n(F)\)의 차원이 n + 1 이므로 \(\beta\)는 \(P_n(f)\) 의 기저이다.
(7) \(\beta\) 가 \(P_n(f)\) 의 기저이므로 \(P_n(f)\) 에 속하는 모든 다항식 \(g\)는 \(\beta\)의 일차 결합으로 표현할 수 있다.
$$g = \sum_{i=0}^n b_if_i$$
(8) 식 양변에 \(x = c_j\)를 입력하면 \(g(c_i)\)는 다음과 같다
$$g(c_j) = \sum_{i=0}^n b_if_i(c_j) = b_j$$
(9) 따라서 \(g = \sum_{i=0}^n g(C-i)f_i\) 는 \(\beta\) 에 대한 유일한 일차결합 표현이다. (해당 식이 라그랑주 보간법)
- 다항식 \(f \in P_n(F)\) 와 서로 다른 n + 1 개의 스칼라 \(c_0, c_1, ... , c_n \in F\) 에 대하여 \(f(c_i) = 0\) 이면 f는 영함수이다.
1.7 일차독립인 극대 부분집합
1. 집합족(family of sets) : \(\mathcal{F}\) 를 집합족이라 하자. 다음 조건을 만족하는 \(\mathcal{F}\) 의 멤버(member) M은 (집합의 포함 관계에 대한) 극대(maximal)이다.
M을 포함하는 \(\mathcal{F}\) 의 멤버는 오직 M 뿐이다.
2. 멱집합(power set) : 공집합이 아닌 집합 S의 모든 부분집합을 원소로 가지는 집합족 \(\mathcal{F}\) 를 생각하자. 이 집합족은 S의 멱집합이다. 집합 S는 \(\mathcal{F}\) 의 극대원소(maximal element)이다.
- 공집합이 아닌 두 집합 S, T가 서로소일 때, 두 집합의 멱집합의 합집합으로 정의한 집합족 \(\mathcal{F}\) 를 생각하자. 두 집합 S와 T는 모두 집합족 \(\mathcal{F}\) 의 극대원소이다.
3. 사슬(chain) : 다음 조건을 만족하는 집합족(collection) \(\mathcal{C}\) 를 사슬이라 한다.
\(\mathcal{C}\) 의 멤버 A, B를 임의로 선택할 때 \(A \subseteq B\) 또는 \(B \subseteq A\)가 반드시 성립한다.
4. 하우스도르프 극대원리(Hausdorf maximal principle) : 집합족 \(\mathcal{F}\) 에 포함되는 임의의 사슬 \(\mathcal{C}\) 를 가져왔을 때, \(\mathcal{C}\) 의 모든 멤버를 포함하는 \(\mathcal{F}\) 의 멤버가 존재하면 \(\mathcal{F}\) 에는 극대원소가 있다.
5. 일차독립인 극대 부분집합(maximal lineraly independent subset) : 벡터공간 V의 부분집합 S의 일차독립인 극대 부분집합 B는 다음 두 가지 조건을 만족하는 S의 부분집합이다.
(1) 집합 B는 일차독립이다
(2) 집합 B를 포함하고 일차독립인 (S의) 부분집합은 오직 B 뿐이다.
6. 관련 정리
- V는 벡터공간이고, 부분집합 S는 V를 생성한다. \(\beta\) 가 S의 일차독립인 극대 부분집합이면 \(\beta\) 는 V 의 기저이다.
- 벡터공간 V와 일차독립인 부분집합 S를 생각하자. S를 포함하는 V의 (일차독립인) 극대 부분집합이 존재한다.
- 모든 벡터공간은 기저를 포함한다.
7. 기수(cardinality) : 두 집합 사이에 일대일대응이 존재할 때, 두 집합은 기수가 같다.
무한차원 벡터공간이 주어질 때, 무한차원 벡터공간의 모든 기저는 기수가 같다.